什么是时间复杂度?

我们先看看一些函数的渐近表达式:

关于时间复杂度的基本要点:

1.时间复杂度反映的是随着问题规模的变大,计算所需的时间的增长速度,与系数的多少关系不大

2.算法的渐近时间复杂度,简称时间复杂度,很多时候为了便于理解,直接把时间复杂度等同于O()是可以的。

3.常见的时间复杂度,及其增长速度比较

O(1)<O(log n)<O(n)<O(nlog n)<O(n^2)<O(n^3)< O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

可以这么说,看到这里就已经基本掌握时间复杂度的概念了,对于分析常见时间复杂度问题是没问题的

当然,若想深入了解这块知识,请参考课本及其他博客,并耐心地看完下面的内容

(阅读时请结合例子理解)

 

一、大O记号(渐近上界记号)

定义1-1  

设函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数,如果存在两个正常数c和n0,使得当n≥n0时,有f(n)≤cg(n),则记做f(n) =
O(g(n)),称为大O记号(big Oh notation) 称g(n)是f(n)的一个上界 注: f(n)的阶不高于g(n)

 

例1-1   f(n) = 2n + 3 = O(n)

当n≥3时,2n+3≤3n,

所以,可选c = 3,n0 = 3。对于n≥n0,f(n) = 2n + 3≤3n,

所以, f(n) = O(n) 。这意味着,当n≥3时,该程序步不会超过3n。

 

例1-2  f(n) = 10n2 + 4n + 2 = O(n2)

对于n≥2时,有10n2 + 4n + 2≤10n2 + 5n,

并且当n≥5时,5n≤n2, 因此,可选c = 11, n0 = 5;

对于n≥n0,f(n) = 10n2 + 4n + 2≤11n2, 所以f(n) = O(n2)。

 

例1-3 10n2 + 9 !=O(n)

使用反证法,假定存在c和n0,使得对于n≥n0,10n2 + 9≤cn始终成立,

那么有10n + 9/n≤c,即n≤c/10 - 9/(10n)总成立。

但此不等式不可能总成立,取n = c/10 + 1时,该不等式便不再成立。

 

重要定理

 

渐近时间复杂度    

使用大O记号及下面定义的几种渐近表示法表示的算法时间复杂度,

称为算法的渐近时间复杂度(asymptotic complexity),简称时间复杂度

适当选择关键操作,算法的渐近时间复杂度可以由关键操作的执行次数之和来计算

一般地,关键操作的执行次数与问题的规模有关,是n的函数

 

【程序1-4】  矩阵乘法
for(i=0; i<n; i++) //n+1 for(j=0; j<n; j++){ //n(n+1) c[i][j]=0; //n2 for(k=0;
k<n; k++) //n2(n+1) c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; //n3 }
总的时间: n3+ n2(n+1)+ n2+ n(n+1)+ n+1 =2n3+3n2+2n+1   渐进时间复杂度:O(n3)

 
大O运算规则:

(1) O(f)+O(g)=O(max(f, g))
(2) O(f)+O(g)=O(f+g)
(3) O(f)O(g)=O(fg)
(4) 如果g(N)=O(f(N)), 则O(f)+O(g)=O(f)
(5) O(Cf(N))=O(f(N)), 其中C是一个正常数
(6) f=O(f)

 

二、Ω记号(渐近下界记号)

定义2-2    设有函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数,如果存在两个正常数 c和n0,使得当n≥n0时,有f(n)≥c
g(n),则记做f(n) = Ω (g(n)),称为Ω记号(omega notation)。 注: f(n)的阶不低于g(n)

(Ω的相关概念实际上就是O(n)颠倒过来)

 

例1-5  f(n) = 2n + 3 =Ω(n)

对所有n,2n+3≥2n,可选c = 2,n0=0。

对于n≥n0,f(n) = 2n+3≥2n,所以,f(n) = Ω(n),即2n + 3∈Ω(n)。

 

例1-6  f(n) = 10n2 + 4n + 2 = Ω(n2)

对所有n,10n2 + 4n + 2≥10n2,可选c = 10,n0 = 0。

对于n≥n0,f(n) = 10n2 + 4n + 2≥10n2,所以,f(n) =Ω(n^2)。

重要定理

 

 

三、 θ记号(紧渐近界记号)

定义1-3 设有函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数,如果存在正常数c1,c2和n0,使得当n≥n0时,有c1 g(n)≤f(n)≤c2
g(n),则记做f(n) = θ(g(n)),称为θ记号(Theta notation)。 注:此时f(n)和g(n)同阶

例1-7  f(n) = 2n + 3 = θ(n)

例1-8  f(n) = 10n2 + 4n + 2 = θ(n^2)

 

四、算法按时间复杂度分类

多项式时间算法

凡渐近时间复杂度有多项式时间限界的算法称做多项式时间算法(polynomial time algorithm)

O(1)<O(log n)<O(n)<O(nlog n)<O(n^2)<O(n^3)

指数时间算法

渐近时间复杂度为指数函数限界的算法称做指数时间算法(exponential time algorithm)

O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

时间复杂度增长示意图

判断时间复杂度是否为准确值相关定理

如果存在正常数n0, 使得当n≥n0时有f(n)>0, g(n)>0

并且    则f(n)=O(g(n))

如果存在正常数n0, 使得当n≥n0时有f(n)>0, g(n)>0

并且   则f(n)=θ(g(n))

书上相关例题参考答案:

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