<>求解线性方程组
<>右乘向量/矩阵
把左边的矩阵拆成一个个列向量,右边的向量表示对左边列向量组的线性组合。
[ c o l 1 c o l 2 c o l 3 ] [ 3 4 5 ] = [ 3 c o l 1 + 4 c o l 2 + 5 c o l 3 ]
\left[\begin{array}{c} col_{1} & col_{2} & col_{3} \end{array}\right]
\left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}
3col_1+4col_2+5col_3 \end{array}\right][col1col2col3] 345 =[3col1+4col
2+5col3]
右边的矩阵:把左边的矩阵看作一个个列向量
第n行的第m列的数字k 表示结果的第n列采用左边矩阵的第m列乘以k
<>左乘向量/矩阵
[ 1 2 7 ] [ r o w 1 r o w 2 r o w 3 ] = [ 1 r o w 1 + 2 r o w 2 + 7 r o w 3 ]
\left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}
row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}
1row_1+2row_2+7row_3 \end{array}\right][127] row1row2row3 =[1row1+2row
2+7row3]
左边的矩阵:把右边的矩阵看作一个个行向量
第n行的第m列的数字k 表示结果的第n行采用右边矩阵的第m行向量乘以k
<>结果特定行列位置的值
[ r o w 1 r o w 2 r o w 3 ] [ c o l 1 c o l 2 c o l 3 ] = [ r o w 1 c o l 1 r
o w 1 c o l 2 r o w 1 c o l 3 r o w 2 c o l 1 r o w 2 c o l 2 r o w 2 c o l 3 r
o w 3 c o l 1 r o w 3 c o l 2 r o w 3 c o l 3 ] \left[\begin{array}{c} row_1 \\
row_2 \\ row_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} col_1 & col_2 & col_3
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} row_1col_1 & row_1col_2 &
row_1col_3 \\ row_2col_1 & row_2col_2 & row_2col_3 \\ row_3col_1 & row_3col_2 &
row_3col_3 \end{array}\right] row1row2row3 [col1col2col3]= row1col
1row2col1row3col1row1col2row2col2row3col2row1col3row2col3row3
col3
<>矩阵乘法
AB=C
A是mxn矩阵,
B是nxp矩阵,
得到的C是mxp矩阵
第四种矩阵乘法运算,A的一列和B的一行相乘会得到一个完整的结果矩阵,把所有得到的矩阵加起来就是C
分块乘法也是一样的效果
<>逆矩阵
<>方阵的逆矩阵
矩阵的左逆和矩阵的右逆
如果一个非全0矩阵,乘一个A矩阵等于全0矩阵,那么这个A矩阵是不可逆的
反证法:假设A是可逆的,AX=0 两边同时乘以A的逆,得到X=0
与前面的X是非全0矩阵冲突
<>求逆矩阵
有两种方法,
* 和求解线性方程组一样,一个个求解线性方程组,用消元法慢慢消,然后再回代
* Gauss-Jordan高斯-若尔当消元方法,同时求解多个线性方程组
高斯-若尔当消元法的证明:
初始状态【A I】
做的消元步骤,相当于乘了一个E矩阵
EA = I 所以E就是A的逆矩阵
右侧的I乘E,得到E
所以结果就是【I E】 也就是【I A的逆】