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<>商集
定义： R 是 A 上等价关系，由 R 的所有等价类构成的集合称之为 A 关于 R 的商集。记作 A/R。
A / R = { [ a ] R ∣ a ∈ A } A/R=\{[a]_R |a∈A\} A/R={[a]R∣a∈A}
例如， A={1,2,3,4,5,6,7} , R是A上的模3同余关系，则$ A/R= {[1]_R ,[2]_R ,[3]_R } ={
{1,4,7},{2,5},{3,6}}$
由划分确定等价关系：
若 A = { A 1 , A 2 , … , A n } A=\{A_1 ,A_2 ,…,A_n\} A={A1,A2,…,An}
是X的一个划分，则可以构造一个X上的等价关系R，使得X/R=A。
构造方法： R = A 1 2 ∪ A 2 2 ∪ , … , ∪ A n 2 R=A_1^2∪A_2^2∪,…,∪A_n^2 R=A12∪A22∪,…,
∪An2 其中 A i 2 = A i × A i A_i^2 = A_i×A_i Ai2=Ai×Ai
也就是每个独立子图都构成等价关系（自反、对称、传递）
<>相容关系
定义：给定集合 X 上的关系 r , 若 r 是自反的、对称的，则 r 是A 上相容关系。
即，刨去传递性
相容关系关系矩阵的特点：
主对角线都是1（自反性决定的）；
沿主对角线对称的元素，要么全是0，要么全是1（对称性决定的）；
相容类：设 r 是集合X上的相容关系， C ⊆ X C\subseteq X C⊆X，如果对于 C 中任意元素x,y有$<x,y>\in r $，称 C 是
r 的一个相容类。
最大相容类：设 r 是集合X上的相容关系，C是 r 的一个相容类，如果C不 能被其它相容类所真包含，则称C是一个最大相容类。
完全覆盖：r是中的相容关系，由r的所有最大相容类为元素 构成的集合，称之为X的完全覆盖。记作Cr(X)。
<>次序关系
<>偏序关系(partial order relation)
定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是A上的偏序关系，并称是偏序集。
用符号“≼”表示任意偏序关系，但要注意，这里的“≼”不一定 是“小于或等于”的含义。
偏序关系有向图的特点：
每个节点都有环(自反性)；
不同节点之间可以没有边，但如果有边，至多只有一条边；(反对称性)
由于有(a,b) ∈R 和(b,c)∈R， 则(a,c) ∈R；(传递性)
偏序关系的简化关系图：
(1)自反性：每个顶点都有环，省去。
(2)反对称性：两个不同顶点间只可能有一条边，那么按照左→右，或下→上 的方向依偏序关系安置顶点，可省略箭头。
(3)传递性：由于有(a,b)∈R ，(b,c)∈R 则(a,c) ∈R，故只画(a,b)，(b,c)对应 的边,省略边(a,c)。
Hasse图：设≼是Ａ上的一个偏序关系，如果a≼b ，则将ａ画在ｂ的下面 ，且不ｃ，使a≼c，c≼b，则ａ，ｂ间用直线连接。并符合简
化的关系图的绘制，称这样得到关系图为Hasse图。
全序(线序、链)关系：集合Ａ上半序关系Ｒ，如果 ∀ ａ , ｂ ∈ Ａ \forallａ,ｂ\inＡ ∀ａ,ｂ∈Ａ，都有ａ≼ｂ，或
ｂ≼ａ，则称Ｒ为Ａ上的全序关系。
极大极小元：设（Ｐ，≼）是半序集， A ⊆ P A\subseteq P A⊆P，若ａ∈Ａ，且在Ａ中找不到 一个元素ｂ
（ｂ≠ａ），使ａ≼ｂ（ｂ≼ａ），则称ａ为Ａ中 的极大元（极小元）。
最大最小元：设(Ｐ， ≼）是半序集， A ⊆ P A\subseteq P A⊆P，若ａ∈Ａ， ∀ b ∈ A \forall b\in A ∀b∈A
，ｂ≼ａ (ａ≼ｂ），则称ａ为Ａ的最大元（最小元）。
小结：(A, ≼)是偏序集，B是A的非空子集，则
⑴ B的极小元总是存在的，就是子集Hasse图中处在最下层的元素；B的极大 元也总是存在的，就是子集Hasse图中处于最上层的元素。
⑵ B的最小元(最大元)有时可能不存在，只要有唯一的极小(大)元，则这个极 小(大)元就是最小(大)元。否则，就没有最小(大)元。
上界与下界：设（P, ≼）是半序集， Ａ ⊆ Ｐ Ａ\subseteqＰ Ａ⊆Ｐ，若a∈P，对 ∀ ｂ ∈ Ａ \forallｂ\inＡ ∀ｂ∈Ａ，都有ｂ≼
ａ，则称a是A的上界；若a∈P，对 ∀ ｂ ∈ Ａ \forallｂ\inＡ ∀ｂ∈Ａ，都有 ａ≼ｂ，则称ａ为Ａ的下界。
A的上下界要到P(全集)中寻找，不局限于A(子集)。
上确界与下确界：设(P,≼)是半序集， Ａ ⊆ Ｐ Ａ\subseteqＰ Ａ⊆Ｐ，若ａ是Ａ的一个上界，而 ∀ Ａ \forallＡ ∀Ａ的上
界ｂ，都有ａ≼ｂ，则称ａ是Ａ的上确界；若ａ是Ａ的一个下界，而 Ａ的下界ｂ，都有ｂ≼ａ，则称b是Ａ的下确界。
上确界：所有上界中的最小者，最小上界；
下确界：所有上界中的最大者，最大下界；
另外，如果存在上（下）确界，则上（下）确界一定是唯一的；
<>函数
函数关系图的特点：
每个结点均有且仅有一条往外发的弧线(包括环)。
函数关系矩阵的特点：
每行均有且仅有一个1。
从 X 到 Y 函数的集合 Y X Y^X YX： Y X = { f ∣ f : X → Y } Y^X = \{f| f:X→Y\} YX={f∣f:X
→Y}
|X|=m，|Y|=n，可构成 nm 个不同的函数。
特殊函数：常值函数、恒等函数
<>函数的映射类型
满射的：
f:X→Y 是函数，如果对任意 y∈Y， 都存在 x∈X，使得 f(x)=y，则称 f 是满射的。 即 满射函数的值域 R f = Y R_f = Y Rf
=Y。
满射函数的关系矩阵： 每行有且仅有一个1， 并且 每列至少有一个1。
映内的
f:X→Y 是函数，如果 R f ⊂ Y R_f \subset Y Rf⊂Y则称 f 是映内的。
入射的（单射的）
f:X→Y 是函数，对于任何 x1 ,x2∈X， 如果 x1≠x2， 均有$ f(x_1 )≠ f(x_2)$，则称 f 是入射的(单射的，一对一的)。
双射的
f:X→Y 是函数，如果 f 既是满射的 又是入射的，则称 f 是双射的。
<>函数的复合运算
复合运算满足可结合性
定理3 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数，则
⑴如果f 和 g是 满射的，则 g∘f 也是满射的；
⑵如果f 和 g是入射的，则 g∘f 也是入射的；
⑶如果f 和 g是双射的，则 g∘f 也是双射的。
定理4 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数，则
⑴如果 g∘f 是满射的，则 g 是 满射的；
⑵如果 g∘f 是入射的，则 f 是入射的；
⑶如果 g∘f 是双射的，则 f 是入射的且g是满射的。
tip:前满后入
定理5 f:X→Y 是函数，则$ f∘I_X = f 且 I_Y∘f = f $。
<>函数的逆运算
逆函数定义：
设 f:X→Y 是双射函数，$f^C:Y→X 也 是 函 数 , 称 之 为 f 的 逆 函 数 ， 记 为 也是函数, 称之为 f 的逆函数，记为 也是函
数,称之为f的逆函数，记为f^{-1}$ 。 f -1 存在，也称 f 可逆。显然，f -1 也是双射函数。
如果一个函数不是双射的，它的逆就不是函数。
<>自然数的定义
自然数n是n个元素的集合
<>集合的基数
<>集合的等势
定义：令A是B集合，如果存在双射 f:A→B，则称A 与B等势。记作A~B。
~ 是等价关系
基数类：S是集合族，“~”是S上的等势关系，相对 于“~ ”的等价类称之为基数类。
基数：给定集合A，A所属于的基数类，称之为A的基 数，记作K[A]。
<>可数集合及其基数
<>自然数集合N的基数
因为 N 不可能与某个自然数 n 等势。所以 N 的基数不能是有限数，就用一个“无限大”的数 ℵ 0 \aleph_0 ℵ0
(读:阿列夫零)表示，即K[N]= ℵ 0 \aleph_0 ℵ0
可数集: 与自然数集合N等势的集合，称之为可数集。
<>不可数集合及其基数
连续统基数
(0,1)区间的基数是一个比 N 的基数 ℵ 0 \aleph_0 ℵ0 更大的无限 大的数，用 ℵ \aleph ℵ(阿列夫) 表示。即 ℵ
\alephℵ> ℵ 0 \aleph_0 ℵ0
⑴ K[A1 ] = K[A2 ] = … = K[An ] = ℵ \aleph ℵ，则 K[A1∪A2∪…∪An ] = ℵ \aleph ℵ
⑵ K[A] = K[B] = ℵ \aleph ℵ， 则 K[A×B ] = ℵ \aleph ℵ
⑶ K[A]= ℵ \aleph ℵ，K[B]= ℵ 0 \aleph_0 ℵ0 (或 K[B]=n )，即B是至 多可数集，则 K[A-B ]= ℵ
\alephℵ
<>基数的比较
<>代数系统
<>二元运算性质
封闭性
交换性
可结合性
规定：
若※是可结合的运算，元素 x 的※运算， 通常可以写成乘幂的形式。如下：
x ※ x = x 2 x※x=x^2 x※x=x2
x 2 ※ x = x ※ x 2 = x 3 x^2※x=x※x2=x^3 x2※x=x※x2=x3
e.g.
对于加法： 1 3 = 3 1^3=3 13=3
对于乘法： 1 3 = 1 1^3=1 13=1
分配律
左分配律、右分配律
谁对谁满足（有顺序要求）
吸收律
<>二元运算中的特殊元素
幂等元、幂等性
幺元、左幺元、右幺元
幺元 e e e e.g.
加法：0；乘法：1；并运算：$\phi $；交运算：E
怎么找？：左幺元（右幺元）： e L e_L eL（ e R e_R eR）所在行（列）各元素均与上（左）表头元素相同
if e L = e R e_L=e_R eL=eR，那么就是幺元e，且唯一
零元、左零元、右零元
零元$\theta $ e.g.
乘法：0；并运算：；交运算： ϕ \phi ϕ
怎么找？：左零元（右零元）： θ L \theta_L θL（ θ R \theta_R θR）所在行（列）各元素均与左（上）表头元素相同
if θ L = θ R \theta_L=\theta_R θL=θR，那么就是幺元 θ \theta θ，且唯一
定理：设※是集合X 上的二元运算，且 |X|>1。 如果该代数系统中存在幺元 e 和零元 θ， 则 θ ≠ e。
逆元、左逆元、右逆元（有幺元才能谈论逆元！！！）
逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL−1e.g.
实数集合R上的+和×，x∈R
对加法+: x − 1 = − x x^{-1} = -x x−1=−x
因为e=0，x+ (-x) = 0
对乘法×: x − 1 = 1 / x x^{-1} = 1/x x−1=1/x (x≠0)
因为e=1 ，x × 1/x = 1
怎么找？：从运算表找 x 的左（右）逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL−1（ x R − 1 x_R^{-1} xR−1）： 在 x
列向下（右）找到 e 后，再向左（上）到左（上）表头元素即是 x L − 1 x_L^{-1} xL−1（ x R − 1 x_R^{-1} xR−1）
定理：设※是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算， 如果 x∈X，x 的左、右逆元都存在，则 x 的 左、右逆元必相等，且 x 的逆元是唯一的。
可消去元、可消去性
定理：设※是 X 上可结合的二元运算，如 果 a∈X，且 a − 1 a^{-1} a−1∈X ，则 a 是可消元。
e.g.
<>代数系统的基本概念
同类型的代数系统
<>同态与同构
同态：是一个映射
如果 f 是满射的，称此同态是满同态。
如果 f 是入射的，称此同态是单一同态。
如果 f 是双射的，称此同态是同构，记作 X≌Y。
若 f 是<X,※>到<X,※>的同态(同构) ，则称之为自同态(自同构)。
注意： 代数系统 和同构的必要条件：
*
X 和Y 的基数相同，即 K[X]=K[Y]。
*
运算※和⭕是同类型的。
*
存在双射 f:X → \rightarrow →Y，且满足同构关系式。
！！并不是所有的双射 f:X → \rightarrow →Y 都满足同构关系式。
。
如果 f 是入射的，称此同态是单一同态。
如果 f 是双射的，称此同态是同构，记作 X≌Y。
若 f 是<X,※>到<X,※>的同态(同构) ，则称之为自同态(自同构)。
[外链图片转存中…(img-rsmhcloI-1640617498923)]
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注意： 代数系统 和同构的必要条件：
*
X 和Y 的基数相同，即 K[X]=K[Y]。
*
运算※和⭕是同类型的。
*
存在双射 f:X → \rightarrow →Y，且满足同构关系式。
！！并不是所有的双射 f:X → \rightarrow →Y 都满足同构关系式。
在构造双射时，要注意： 幺元与幺元对应；零元与零元对应； 逆元也要相互对应。