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一、butterworth滤波器也称最平响应特性滤波器，其特征多项式为：
|K(jΩ)|^2=K(jΩ)K(-jΩ)=(Ω/Ωc)^2N
巴特沃斯滤波器的模平方函数为：
|H(jΩ)|^2=1/(1+|K(jΩ)|^2)=1/(1+(Ω/Ωc)^2N)
N为滤波器的阶数；
当Ω＝Ωс时，|H(jΩ)|=1/√2,所以Ωc为滤波器的半功率点或幅频特性（-3dB)点，随着N增大，通带边缘变化加快，幅频特性更加逼近，但无论N取多少，幅频特性总经过（-3dB)点。
二、为巴特沃斯滤波器设计技术标准：
通带截止频率fp=6kHz;
阻带截止频率fs=12kHz;
通带最大衰减1dB;
阻带最大衰减30dB;
三、在matlab中程序编写如下：
clear
clc
OmegaP=12*pi*10^3;%通带截止频率
OmegaS=24*pi*10^3;%阻带截止频率
Rp=1;As=30;
[N,OmegaC]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,As,'s');%计算模拟巴特沃思阶数N和3dB截止频率OmegaC
[b,a]=butter(N,OmegaC,'s');%“s”表示模拟滤波器
w0=[OmegaC,OmegaS];%以下4句是检验Ωp,Ωs对应的衰减指标
[H,w]=freqs(b,a);
Hx=freqs(b,a,w0);
dbHx=-20*log10(abs(Hx)/max(abs(H)));
plot(w,20*log10(abs(H)));
xlabel('w');
ylabel('分贝');
set(gca,'xtickmode','manual','xtick',[0,5*10^5,10*10^5,15*10^5,20*10^5,]);
set(gca,'ytickmode','manual','ytick',[-200,-150,-100,-50,-1,]);
运行结果如下：
function createfigure(X1, Y1) %CREATEFIGURE(X1, Y1) % X1: x 数据的矢量 % Y1: y
数据的矢量 % 由 MATLAB 于 28-Nov-2021 11:50:06 自动生成 % 创建 figure figure1 = figure; % 创建
axes axes1 = axes('Parent',figure1); hold(axes1,'on'); % 创建 plot plot(X1,Y1); %
创建 xlabel xlabel('w','FontSize',11); % 创建 ylabel ylabel('分贝','FontSize',11);
box(axes1,'on'); % 设置其余坐标轴属性 set(axes1,'XTick',[0 500000 1000000 1500000
2000000],'YTick',... [-200 -150 -100 -50 -1]);
验证结果
经仿真后图像可知随着频率的增大，其幅度单调递减，符合巴特沃斯滤波器的设计。
总结：matlab对于简化滤波器的计算具有重大意义，而且能从matlab仿真图像上更清晰的判断
滤波器的设计是否合理。
参考文献：【1】张小虹。数字信号处理第二版【M】：机械工业出版社。