通过贝叶斯公式计算阳性概率


今天有一个小盆友对他们的课程里一道题存在疑问过来问我，说是要求必须应用贝叶斯公式，题目如下：

已知某病发病率5%，假阴率5%，假阳率5%，如果一个人检出了阳性结果，那么他患该病的可能性有多大？

首先需要说明，假阳就是把没病的检成有病的，假阴就是把有病的检成没病的。

然后搬出贝叶斯公式：
p(x∣y)=p(x)∗p(y∣x)p(y)=p(x)∗p(y∣x)∑i=1np(xi)∗p(y∣xi) \begin{aligned} p(x|y) &=
\frac {p(x)*p(y|x)} {p(y)} \\ &= \frac {p(x)*p(y|x)}
{\sum_{i=1}^np(x_i)*p(y|x_i)} \end{aligned}p(x∣y)​=p(y)p(x)∗p(y∣x)​=∑i=1n​p(xi​)
∗p(y∣xi​)p(x)∗p(y∣x)​​
令p(x)为发病率，p(y)为检出阳性的概率，那么p(x|y)就是检出阳性时患病的概率，p(y|x)就是已知患病了检出阳性的概率（也就是真阳率）。

所以我们的结果就是p(x|y)的值，接下来捋一捋其他三个值：

* p(x)发病率题目中已经给出为5%
* p(y|x)为真阳率，用1减去假阴率（真阳就是有病检出有病，假阴是有病检出没病），为95%
* p(y)为检出阳性的概率，分为两块，一个是有病检出有病，另一个是没病的检出有病（发病率x真阳率+未发病率x假阳率）：5%*95%+(1-5%)*5%
p(y)用公式表示更能说明问题：

p(y)=p(x)∗p(y∣x)+p(xˉ)∗p(y∣xˉ)p(y)=p(x)*p(y|x)+p(\bar{x})*p(y|\bar{x})p(y)=p(x)
∗p(y∣x)+p(xˉ)∗p(y∣xˉ)

p(y∣xˉ)p(y|\bar{x})p(y∣xˉ)为没病检出有病，即假阳率。p(y)放到贝叶斯公式里，即为：

p(x∣y)=p(x)∗p(y∣x)p(x)∗p(y∣x)+p(xˉ)∗p(y∣xˉ)=5%∗95%5%∗95%+(1−5%)∗5%=50%
\begin{aligned} p(x|y) &= \frac {p(x)*p(y|x)}
{p(x)*p(y|x)+p(\bar{x})*p(y|\bar{x})} \\ &= \frac {5\%*95\%}
{5\%*95\%+(1-5\%)*5\%} \\ &= 50\% \end{aligned}p(x∣y)​=p(x)∗p(y∣x)+p(xˉ)∗p(y∣xˉ)
p(x)∗p(y∣x)​=5%∗95%+(1−5%)∗5%5%∗95%​=50%​

所以我们的答案就是50%，3个5%的值最后准确率只有50%，所以假阳率和假阴率看起来小实际上影响很大。

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